SOAL TRIGONOMETRI

NADIA NUR ANGGRAINI (28)

X IPS 3

PERBANDINGAN TRIGONOMETRI

Contoh soal 1 :

Diketahui segitiga PQR dengan P(0, 1, 4), Q(2, -3, 2), dan R (-1, 0, 2). Besar sudut PQR adalah ….

Pembahasan :

Segitiga PQR pada soal dapat diilustrasikan seperti berikut.

Mencari panjang RQ:

$\overrightarrow{RQ} = (2-(-1), -3-0, 2-2)=(3,-3,0)$

$|RQ|= \sqrt{3^{2}+(-3)^{2}+0^{2}} =\sqrt{9+9+0}= \sqrt{18}$

Mencari panjang RP:

$\overrightarrow{RP} = (0-(-1), 1-0, 4-2)=(1,1,2)$

$|RQ|= \sqrt{1^{2}+1^{2}+2^{2}} =\sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$

Mencari besar sudut R:

$\overrightarrow{RQ} \cdot \overrightarrow{RP} = |RP| \cdot |RQ| \cdot Cos \; R$

$(3,-3,0)(1,1,2) = \sqrt{18} \cdot \sqrt{6} \cdot Cos \; R$

$3 - 3 + 0 = \sqrt{108} \cdot Cos \; R$

$0 = \sqrt{108} \cdot Cos \; R$

$Cos \; R = \frac{\sqrt{108}}{0}$

$Cos \; R = 0 \rightarrow R = 90^{o}$

Jadi, besar sudut R adalah 90o.

Contoh soal 2 :

Besar sudut $72^{\circ}$ sama dengan ... rad

Pembahasan :

Ingat bahwa $1^{\circ} = \frac{π}{180} rad$
Dengan demikian,
$\begin{aligned} 72^{\circ} & = 72^{2} \times \frac{π}{180^{5}} rad \\ = \frac{2}{5} π rad \end{aligned}$
Jadi, besar sudut $72^{\circ}$ sama dengan 2/5 π rad

Contoh soal 3 :

Diketahui segitiga ABC dengan A(3, 1), B(5, 2), dan C(1, 5). Besar sudut BAC adalah ….

Pembahasan :

Soal UN Trigonometri

Mencari panjang AC:

$\overrightarrow{AC} = (1-3, 5-1)=(-2,4)$

$|RQ|= \sqrt{(-2)^{2} + 4^{2}} =\sqrt{ 4 + 4 }= \sqrt{8}$

Mencari panjang AB:

$\overrightarrow{AB} = (5 - 3, 2 - 1) = (2, 1)$

$|RQ|= \sqrt{2^{2} + 1^{2}} =\sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$

Mencari besar sudut A:

$\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB} = |AC| \cdot |AB| \cdot Cos \; A$

$(-2,4) \cdot (2, 1) = \sqrt{8} \cdot \sqrt{5} \cdot Cos \; A$

$-4 + 4 = \sqrt{40} \cdot Cos \; A$

$0 = \sqrt{40} \cdot Cos \; A$

$Cos \; A = \frac{\sqrt{40}}{0}$

$Cos \; A = 0 \rightarrow A = 90^{o}$

Jadi, besar sudut A adalah 90o.

Contoh soal 4 :

Diketahui siku-siku ABC, siku-siku di C, panjang a = 4 dan b = 3.

Tentukanlah panjang sisi dan nilai perbandingan trigonometri sudut α

Pembahasan :

SUDUT BERELASI

Contoh soal 1 :

Jika sin 30° =½ maka cos 300°=

Pembahasan :

cos 300°

= cos (360° - 60°)

= cos 60°

= cos (90° - 30°)

= sin 30°

= 1/2

Contoh soal 2 :

Untuk perbandingan trigonometri berikut, nyatakanlah dalam perbandingan trigonometri sudut komplemennya

sin 50°

tan 40°

cos 35°

Pembahasan :

sin 50° = sin (90° − 400°)

= cos 40°

tan 40° = tan (90° − 50°)

= cot 50°

cos 35° = cos (90° − 55°)

= sin 55°

Ketiganya bernilai positif, karena sudut 50°, 40° dan 35° berada di kuadran I.

Contoh soal 3 :

tentukan nilai dari $\frac{s i n 100^{\circ} - c o s 190^{\circ}}{c o s 350^{\circ} - s i n 260^{\circ}}$

Pembahasan :

sin 100° = sin (90° + 10°) = cos 10°
cos 190° = cos (180° + 10°) = -cos 10°
cos 350° = cos (360° − 10°) = cos 10°
sin 260° = sin (270° − 10°) = -cos 10°

Sehingga :
$\frac{s i n 100^{\circ} - c o s 190^{\circ}}{c o s 350^{\circ} - s i n 260^{\circ}} = \frac{c o s 10^{\circ} - (- c o s 10^{\circ})}{c o s 10^{\circ} - (- c o s 10^{\circ})} = \frac{2 c o s 10^{\circ}}{2 c o s 10^{\circ}} = 1$

Contoh soal 4 :

Untuk setiap perbandingan trigonometri berikut, nyatakan dalam perbandingan trigonometri sudut komplemennya !
sin 20°
tan 40°
cos 53°

Pembahasan :

sin 20° = sin (90° − 70°)
sin 20° = cos 70°

tan 40° = tan (90° − 50°)
tan 40° = cot 50°

cos 53° = cos (90° − 37°)
cos 53° = sin 37°

Jika kita perhatikan sin berubah menjadi cos, tan berubah menjadi cot dan cos berubah menjadi sin dikarenakan relasi yang digunakan adalah (90° − α) dan ketiga perbandingan trigonometri diatas bernilai positif, karena sudut 20°, 40° dan 53° berada di kuadran I.

ATURAN SINUS, COSINUS DAN LUAS SEGITIGA

Contoh soal 1 :

Pada segitiga ABC, sisi AC = 16 cm, AB = 8 √2 cm, sudut B = 45° tentukan sudut-sudut segitiga ABC yang lainnya.

Pembahasan :

Contoh soal 2 :

Tentukan luas segitiga ABC, jika diketahui AB = 15 cm, BC = 10 cm, ∠ B = 30°

Pembahasan :

Contoh soal 3 :

Tentukan luas segitiga PQR, jika diketahui ∠P = 120°, panjang PR = 10, PQ = 8

Pembahasan :

Contoh soal 4 :

Hitunglah luas segitiga ABC, dengan panjang sisi-sisinya a = 3 m, b= 8 m, c = 9 m

Pembahasan :

PERSAMAAN TRIGONOMETRI

Contoh soal 1 :

Himpunan penyelesaian persamaan

untuk

adalah

Perhatikan bahwa persamaan

\sqrt{2} \sin 3 x = 1

ekuivalen dengan persamaan

\sin 3 x = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2} \sqrt{2} = \sin 45^{\circ}

Untuk itu, didapat 2 kemungkinan berikut.
Kemungkinan 1:

\begin{aligned} 3 x & = 45^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ Bagi kedua ruas dengan 3 \\ x & = 15^{\circ} + k \cdot 120^{\circ} \end{aligned}

Jika

k = 0

, diperoleh

x = 15^{\circ} (✓)

Jika

k = 1

, diperoleh

x = 135^{\circ} (✓)

Jika

k = 2

, diperoleh

x = 255^{\circ} (X)

Kemungkinan 2:

\begin{aligned} 3 x & = (180 - 45)^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ 3 x & = 135^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} \\ Bagi kedua ruas dengan 3 \\ x & = 45^{\circ} + k \cdot 120^{\circ} \end{aligned}

Jika

k = 0

, diperoleh

x = 45^{\circ} (✓)

Jika

k = 1

, diperoleh

x = 165^{\circ} (✓)

Jika

k = 2

, diperoleh

x = 285^{\circ} (X)

Jadi, HP persamaan tersebut adalah

{15^{\circ}, 45^{\circ}, 135^{\circ}, 165^{\circ}}

Tentukan penyelesaian persamaan soal pers sin.png

dalam interval 0 ≤ x ≤ 2π ...

Pembahasan :

Contoh soal 3 :

Untuk 0° ≤ x ≤ 360° tentukan himpunan penyelesaian dari sin x = ½ …..

Pembahasan :

soal persamaan trigonometri dan jawaban no 1

Contoh soal 4 :

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan sin2x – 2 sin x – 3 = 0 untuk 0o ≤ x ≤ 360o

Pembahasan :

soal persamaan trigonometri dan jawaban no 6

GRAFIK TRIGONOMETRI

Contoh soal 1 :

Perhatikan gambar di bawah!

Persamaan grafik fungsi pada gambar di atas adalah ….

Pembahasan :

Berdasarkan grafik fungsi trigonometri pada soal dapat diperoleh informasi:

Nilai Amplitudo: A = 2
Periode dari 15o sampai 135o adalah 1, sehingga:
   $\frac{360^{o}}{k} = 135^{o} - 15^{o}$
   $\frac{360^{o}}{k} = 120^{o}$
   $k = \frac{360^{o}}{120^{o}} = 3$
Grafik fungi trigonometri pada soal merupakan grafik dasar fungsi sinus y = Sin x yang digeser ke kana sejauh 15o.

Persamaan umum fungsi sinus adalah:

$y = A \cdot Sin \; k \left(x \pm \alpha \right)^{o} \pm C$

Jadi, persamaan grafik fungsi trigonometri yang sesuai dengan gambar pada soal adalah:

$y = 2 \cdot Sin \; 3 \left(x - 15 \right)^{o}$

$y = 2 \cdot Sin \; \left(3x - 45 \right)^{o}$

Contoh soal 2 :

Perhatikan grafik di bawah!

Pembahasan :

Grafik fungsi trigonometri merupakan bentuk grafik fungsi sinus. Persamaan umum grafik fungsi trigonometri untuk fungsi sinus adalah:

$y = A \; \textrm{Sin} \; k (x \pm \alpha ) \pm c$

Menghitung banyaknya gelombang dalam 1 periode (k):

Berdasarkan informasi grafik fungsi trigonometri yang diberikan pada soal, diketahui bahwa pada rentang $- \frac{pi}{6}$ sampai dengan $\frac{5 \pi }{6}$ memuat setengah periode.

$\frac{\pi}{k} = \left( \frac{5 \pi}{6} - \left( - \frac{\pi}{6} \right) \right)$

$\frac{ \pi }{k} = \frac{5 \pi}{6} + \frac{\pi}{6}$

$\frac{ \pi }{k} = \frac{6 \pi}{6}$

$k = \frac{6 \pi}{6 \pi} = 1$

Jadi banyaknya gelombang dalam satu periode adalah 1 (k = 1).

Mencari nilai Amplitudo (A): nilai tertinggi yang dapat dicapai grafik fungsi trigonometri adalah 2 atau – 2 , sehingga nilai amplitudonya sama dengan 2 (A = 2).

Grafik fungsi trigonometri yang diberikan pada soal bergeser sejauh $\frac{\pi}{6}$ ke arah kiri, sehingga persamaan akan mendapat tambahan + ${\pi}{6}$ .

Jadi, persamaan grafik fungsi trigonometri yang sesuai dengan soal adalah:

$y = 2 \cdot Sin \; 1 \left( x + \frac{\pi}{6} \right)$

$y = 2 Sin \left( x + \frac{\pi}{6} \right)$

Contoh soal 3 :

Diketahui fungsi $f(x) = \sqrt{2} Cos 3x + 1$ . Jika nilai maksimum f(x) adalah a dan nilai minimum f(x) adalah b maka nilai a2 + b2 = ….

Pembahasan :

Diketahui fungsi f(x):

$f(x) = \sqrt{2} Cos \; 3x + 1$

Ingat bahwa nilai maksimum fungsi cosinus adalah 1 dan nilai minimum fungsi cosinus adalah – 1 .

Nilai maksimum = a, maka

$a = \sqrt{2} \cdot 1 + 1$

$a = \sqrt{2} + 1$

Nilai minimum = b, maka

$b = \sqrt{2} \cdot - 1 + 1$

$b = - \sqrt{2} + 1$

Jadi, nilai a2 + b2 adalah

$a^{2} + b^{2} = (\sqrt{2} + 1)^{2} + (\sqrt{2} - 1)^{2}$

$= ( 2 + 2 \sqrt{2} + 1) + ( 2 - 2 \sqrt{2} + 1)$

$= 3 + 2 \sqrt{2} + 3 - 2 \sqrt{2}$

$= 6$

Contoh soal 4 :

Grafik di atas adalah grafik fungsi $\dots \cdot$

Pembahasan :

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Grafik di atas merupakan modifikasi grafik cosinus (karena grafiknya dimulai dari sumbu- $Y$ ) dengan bentuk umum $f (x) = a \cos k x$ .

Grafik juga menunjukkan bahwa nilai maksimum fungsinya $\frac{1}{2}$ , sedangkan nilai minimumnya $- \frac{1}{2}$ , sehingga
$\begin{aligned} a & = \frac{N. Maksimum - N. Minimum}{2} \\ = \frac{\frac{1}{2} - (- \frac{1}{2})}{2} = \frac{1}{2} \end{aligned}$
Saat $x = 0^{\circ}$ , nilai fungsinya $\frac{1}{2}$ , lalu berulang kembali di $x = π$ , sehingga periodenya $π$ . Dengan

demikian, $k = \frac{2 π}{Periode} = \frac{2 π}{π} = 2$ .

Jadi, grafik fungsi di atas adalah grafik fungsi $f (x) = \frac{1}{2} \cos 2 x$

Cari Blog Ini

REMEDIAL PAT

SOAL TRIGONOMETRI

Komentar

Posting Komentar